Удав заметил пруд и провел водные игры во время урока математики.

Интеграл — один из основных понятий математического анализа. Точнее, это операция обратная дифференцированию. Вид интеграла определяется видом функции, над которой производится интегрирование, и пределами интегрирования.

Удав, погрузившись в изучение математики, наткнулся на интересную тему — нахождение интегралов. Интересно, какие новые знания он обнаружит? Он решил взять одну функцию и посмотреть, что из этого получится.

Возьмем, например, функцию f(x) = x^2. Дифференцируем. Получается f'(x) = 2x. А теперь хотим найти интеграл от f(x) на отрезке от 0 до 1. Для этого мы используем метод Ньютона-Лейбница. Внимание, вот формула: ∫f(x)dx = F(x) + C, где F(x) — первообразная функции f(x), C — произвольная постоянная.

Интегрируем функцию f(x) = x^2. Берем ее первообразную. Мы знаем, что производной функции x^n является функция nx^(n-1). Значит, первообразная от x^2 будет состоять из слагаемого, равного (2+1)x = 3x. Получаем F(x) = 3x.

Теперь снова обратимся к формуле интегрирования. Интеграл от f(x) равен F(x) + C. Подставляем первообразную F(x) = 3x и плюсуем произвольную постоянную C. Получаем ∫x^2dx = 3x + C.

Но как найти постоянную C? Для этого мы должны задать начальное условие, т.е. координаты (x, y) одной точки на графике функции f(x). Например, если мы знаем, что f(0) = 1, то можно найти C, подставив в выражение для интеграла x=0 и f(x)=1. Тогда получим 3*0 + C = 1, откуда C = 1.

Таким образом, интеграл ∫x^2dx от 0 до 1 равен 3x + C, где C = 1. Подставляя пределы интегрирования, мы получаем значение интеграла: 3*1 + 1 = 4.

Получившееся число 4 имеет свойство определенности, так как интегрирование позволяет найти определенный интеграл. Это значит, что значение интеграла на отрезке [a, b] не зависит от выбора абсолютно никаких точек с этого отрезка. Важно помнить, что значения интегралов могут быть, как положительными, так и отрицательными.

Таким образом, на данный момент наш удав получил новые знания об интегрировании. Он нашел интеграл ∫x^2dx = 3x + 1 на отрезке [0, 1] с помощью метода Ньютона-Лейбница и формулы интегрирования. Теперь он готов применить эти знания на практике и решить еще больше задач!

16 Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Формула метода интегрирования по частям

Формула метода интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫

u

v

dx

=

u

∫

v

dx

—

∫

u’

∫

v

dx

где u и v — это функции, ∫ — знак интеграла, а u’ обозначает производную функции u.

Решение определенного интеграла

Для решения определенного интеграла с помощью метода интегрирования по частям, мы сначала находим первообразную функции по формуле, которая была ранее объяснена. Затем, используя теоретическую часть, мы вычисляем подынтегральное выражение и находим его значение.

Применение метода интегрирования по частям в определенных интегралах требует некоторых навыков и умений. Во-первых, нужно уметь дифференцировать функцию и находить ее производную. Во-вторых, нужно уметь интегрировать функцию, в том числе и функцию логарифма.

Теперь давайте рассмотрим пример использования метода интегрирования по частям для решения определенного интеграла:

∫_a^bu(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b — ∫_a^bu'(x)v(x)dx

Для начала выбираем первую и вторую функции u и v, которые будут участвовать в формуле. Затем находим их производные u’ и v’ и подставляем в формулу выше. Вычисляем значения подынтегральных выражений, заменяем пределы интегрирования и находим окончательный результат.

Используя метод интегрирования по частям, мы можем решить более сложные определенные интегралы, упростив их вычисления. Этот метод также чаще всего используется при нахождении интегралов функций логарифма.

Для более полного понимания этого метода и лучшего усвоения навыков его использования рекомендуется выполнить самостоятельно дополнительные задания и посмотреть примеры из учебника или других источников.

Интегрирование по частям

Суть метода заключается в следующем. Если у нас есть интеграл от произведения двух функций f(x) и g(x), который обозначаем как ∫f(x)g(x) dx, то по формуле интегрирования по частям, этот интеграл можно переписать как:

∫f(x)g(x) dx = f(x)∫g(x) dx — ∫f'(x)∫g(x) dx dx

где f'(x) — производная функции f(x), а ∫g(x) dx — интеграл от функции g(x).

Данное выражение дает нам возможность решить интеграл, разбив его на два слагаемых и применяя формулы интегрирования по частям к каждому из них.

Применение метода интегрирования по частям часто требует навыков в алгебре и дифференциальном исчислении, поэтому рекомендуется ознакомиться с теоретической частью и примерами применения данного метода для лучшего понимания.

Важным моментом является выбор того, какую функцию обозначать f(x), а какую g(x). Чаще всего выбирают первую функцию так, чтобы ее производная была проще, чем сама функция, чтобы второй раз интегрировать получившееся выражение было легче.

Для примера, рассмотрим интеграл ∫x*sin(x) dx. В данном случае можно выбрать f(x) = x и g(x) = sin(x). Тогда производная f'(x) равна 1, а интеграл от g(x) равен -cos(x). Подставляя все значения в формулу интегрирования по частям, получим:

∫x*sin(x) dx = x*(-cos(x)) — ∫1*(-cos(x)) dx

Далее проводим интегрирование и получаем окончательный результат.

В некоторых случаях может быть удобно применить метод интегрирования по частям несколько раз, чтобы получить более простое выражение для интеграла.

Например, рассмотрим интеграл ∫x³*log(x) dx. Здесь можно выбрать f(x) = log(x) и g(x) = x³. Тогда производная f'(x) равна 1/x, а интеграл от g(x) равен x⁴/4. Подставляя значения в формулу интегрирования по частям, получим следующее выражение:

∫x³*log(x) dx = x³*(log(x))*(1/x) — ∫(x⁴/4)*(1/x) dx

Далее проводим интегрирование и получаем окончательный результат.

Интегрирование по частям является одним из важных методов интегрирования и часто используется в различных областях математики и физики для решения сложных интегральных задач.

Метод интегрирования по частям: объяснение и решение примеров

Для применения метода интегрирования по частям обычно выбирается одна функция, которая записывается в виде произведения с другой функцией. На каждом этапе интегрирования используется формула интегрирования по частям:

Формула интегрирования по частям:

$$\int u(x)\,v(x)\,dx = u(x)\,v(x) — \int v(x)\,du(x),$$

где $u(x)$ и $v(x)$ — выбранные нами функции.

Теперь, рассмотрим пример, чтобы лучше понять, как применяется данный метод.

Пример:

Интегрируем данный интеграл по частям: $\int x \cdot \ln x \, dx$.

Здесь $u(x) = \ln x$, и $v'(x) = x$, так как нам нужно выбрать такую функцию $v(x)$, производная которой равна исходной функции $x$.

Теперь, на первом этапе данного метода, мы находим производную функции $u(x)$:

$u'(x) = \frac{1}{x}$.

Подставляем найденные значения в формулу интегрирования по частям и получаем:

$\int x \cdot \ln x \, dx = \ln x \cdot x — \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx.$

Замечаем, что у нас получился интеграл $\int x \cdot \frac{1}{x} \, dx.$ Он, в свою очередь, равен единице:

$\int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = \int 1 \, dx = x + C,$

где $C$ — произвольная константа. Подставляем полученное значение обратно в нашу исходную формулу и получаем:

$\int x \cdot \ln x \, dx = \ln x \cdot x — (x + C).$

Таким образом, мы получили решение исходной задачи посредством метода интегрирования по частям.

В данном примере использовался интеграл с логарифмической функцией, но метод интегрирования по частям подходит для интегрирования многих других функций.

Суть метода интегрирования по частям

∫(u*v)dx = u*∫vdx — ∫(u’∫vdx)dx

В данном методе, одна из функций выбирается для дифференцирования, а другая для интегрирования. Затем интегрируем одну часть и дифференцируем другую. Таким образом, изначальный интеграл раскладывается на две части, которые проще решить методом интегрирования по частям.

Пример:

1. Рассмотрим интеграл ∫x*sin(x)dx.
2. Выберем первую функцию u = x и вторую функцию dv = sin(x)dx.
3. Вычислим производную первой функции du = dx и интеграл второй функции ∫vdx = ∫sin(x)dx = -cos(x).
4. Подставим значения в формулу интегрирования по частям ∫(u*v)dx = u*∫vdx — ∫(u’∫vdx)dx:

∫x*sin(x)dx = x*(-cos(x)) — ∫(dx*(-cos(x)))dx = -x*cos(x) + ∫cos(x)dx.

Теперь нужно решить интеграл ∫cos(x)dx. Для этого можно воспользоваться другим методом интегрирования.

Второй пример:

1. Рассмотрим интеграл ∫ln(x)dx.
2. Выберем первую функцию u = ln(x) и вторую функцию dv = dx.
3. Вычислим производную первой функции du = (1/x)dx и интеграл второй функции ∫vdx = x.
4. Подставим значения в формулу интегрирования по частям ∫(u*v)dx = u*∫vdx — ∫(u’∫vdx)dx:

∫ln(x)dx = ln(x)*x — ∫((1/x)*x)dx = x*ln(x) — ∫dx = x*ln(x) — x.

Суть метода интегрирования по частям заключается в разложении исходного интеграла на две части, где одна часть проще интегрируется, а другую можно проще дифференцировать. Таким образом, метод интегрирования по частям позволяет решить сложные интегралы путем применения формулы интегрирования по частям и последующего решения получившихся интегралов.

Применяем интегрирование по частям вместе

Для применения метода интегрирования по частям самостоятельно, нам необходимо знать два слагаемых подынтегрального выражения и использовать формулу интегрирования по частям:

Формула интегрирования по частям:

Если дано:

то интеграл от их произведения вычисляется по формуле:

∫ u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) — ∫ v(x) u'(x) dx

Для применения формулы интегрирования по частям требуется выбрать какое-либо слагаемое функции для определения u(x) и другое слагаемое для определения v'(x).

Пример: вычисление интеграла ∫ x cos(x) dx

В данном примере мы выберем u(x) = x и v'(x) = cos(x).

1. Находим первую производную от u(x) для определения v(x):

u'(x) = 1

2. Производим интегрирование для определения v(x):

v(x) = ∫ v'(x) dx = ∫ cos(x) dx = sin(x)

3. Подставляем значения u(x), v(x) и u'(x) в формулу интегрирования по частям:

∫ x cos(x) dx = x sin(x) — ∫ sin(x) dx

4. Вычисляем определенный интеграл для второго слагаемого:

∫ sin(x) dx = -cos(x)

5. Собираем все вместе:

∫ x cos(x) dx = x sin(x) + cos(x) + C

Таким образом, мы получили выражение для интеграла ∫ x cos(x) dx, которое равно x sin(x) + cos(x) + C, где C – произвольная постоянная.

Применение интегрирования по частям позволяет решать сложные интегральные задачи и упрощать выражения для интегралов. Вместе с методом Ньютона-Лейбница данный метод становится еще более эффективным при вычислении определенных интегралов и нахождении первообразной для функций.

Применить интегрирование по частям самостоятельно а затем посмотреть решение

Если в интеграле необходимо произвести интегрирование по частям, можно применить формулу интегрирования по частям, которая выражается следующим образом:

Формула интегрирования по частям:

                       (1) ∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) — ∫v(x)u'(x)dx

Для применения данной формулы необходимо выбрать одну часть интеграла, которую мы будем дифференцировать, и другую часть, которую будем интегрировать. Затем применяем данный метод на определенном изначальном интеграле.

Рассмотрим пример для лучшего понимания:

Пример:

Необходимо решить интеграл: ∫x^2e^x dx. Для нахождения данного интеграла можно воспользоваться методом интегрирования по частям. Первую часть заданного интеграла обозначим за u(x), вторую — v'(x).

Пусть:

         u(x) = x^2

         v'(x) = e^x

Теперь посчитаем производную функции u(x) и интеграл от функции v'(x):

         u'(x) = 2x

         v(x) = ∫e^x dx = e^x

Теперь подставим найденные значения в формулу интегрирования по частям:

         ∫x^2e^x dx = x^2e^x — ∫e^x * 2x dx

Получается новый интеграл: ∫2xe^x dx. Для его решения также можно использовать метод интегрирования по частям:

Пусть:

         u(x) = 2x

         v'(x) = e^x

Теперь вычислим производную от функции u(x) и интеграл от функции v'(x):

         u'(x) = 2

         v(x) = ∫e^x dx = e^x

Подставляем значения в формулу интегрирования по частям:

         ∫2xe^x dx = 2xe^x — ∫2e^xdx

Таким образом, через два этапа применения метода интегрирования по частям, получаем итоговое выражение для нашего изначального интеграла:

         ∫x^2e^x dx = x^2e^x — 2xe^x + ∫2e^x dx

Осталось проинтегрировать последний интеграл:

         ∫2e^x dx = 2∫e^x dx = 2e^x

Теперь можем записать конечное решение нашего изначального интеграла:

         ∫x^2e^x dx = x^2e^x — 2xe^x + 2e^x + C

Где С — произвольная постоянная.

Таким образом, применив метод интегрирования по частям самостоятельно, а затем посмотрев решение, можно понять принцип его работы и улучшить понимание данного метода за счет решения нескольких примеров.

Снова применяем интегрирование по частям вместе

Используя метод интегрирования по частям, сначала нужно выбрать часть выражения для дифференцирования и часть для интегрирования. Затем применяем формулу интегрирования по частям, которая обозначается следующим образом:

∫ u dv = uv — ∫ v du

где u и v – это функции, которые мы выбрали для дифференцирования и интегрирования соответственно. Таким образом, частями в данной формуле обычно называются умножение u на ∫ v du.

Рассмотрим примеры подынтегральных выражений для метода интегрирования по частям:

Интеграл	u	dv	du	v
∫ x sin(x) dx	x	sin(x)	dx	-cos(x)
∫ ln(x) dx	ln(x)	dx	1/x dx	x ln(x) — x

Проводя подготовительные вычисления и применяя метод интегрирования по частям к подынтегральным выражениям в таблице, мы получаем следующие результаты:

Подынтегральное выражение 1

∫ x sin(x) dx = -x cos(x) + ∫ cos(x) dx

Подынтегральное выражение 2

∫ ln(x) dx = x ln(x) — x + ∫ dx/x

Таким образом, применение метода интегрирования по частям снова помогает упростить вычисления и получить более простую функцию в результате. Это особенно удобно при работе с выражениями, которые содержат логарифмы, показательные и тригонометрические функции.

Примеры использования метода интегрирования по частям:

Рассмотрим определенный интеграл вида:

∫ u(x) v'(x) dx, где u(x) и v(x) — функции, которые можно дифференцировать и интегрировать соответственно.

Используя формулу интегрирования по частям, можно записать данный интеграл в виде:

∫ u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) — ∫ v(x) u'(x) dx.

Здесь первая часть выражения u(x) v(x) легко вычисляется, так как она содержит две функции, которые можно дифференцировать и интегрировать самостоятельно. Вторая часть, интеграл от v(x) u'(x) dx, представляет собой новый интеграл, который часто легче интегрируется, чем исходное выражение.

Для примера, предположим, что u(x) = x^2 и v'(x) = e^x. Мы можем вычислить ∫ x^2 e^x dx, используя метод интегрирования по частям. Сначала находим производную для u(x), которая равна u'(x) = 2x. Затем находим интеграл для v'(x), который равен v(x) = e^x.

Подставляя значения u(x), u'(x), v(x) и v'(x) в формулу интегрирования по частям, получаем:

∫ x^2 e^x dx = x^2 e^x — ∫ 2x e^x dx.

Теперь мы получили новый интеграл ∫ 2x e^x dx, который может быть проинтегрирован еще раз, используя тот же метод интегрирования по частям. Продолжая применять этот метод, мы можем получить рекуррентную формулу для вычисления сложного интеграла.

Заключение

Интегрирование по частям — это мощный метод, который позволяет свести сложные интегралы к более простым. Он требует навыков в дифференцировании и интегрировании функций, а также внимание к выбору u(x) и v(x) для исходного интеграла. Рекуррентные формулы, получаемые с помощью этого метода, позволяют вычислять сложные интегралы более эффективно и точно, что делает интегральное исчисление более доступным и понятным.

Видео:

Аэрогель: выйти сухим из воды [Veritasium]

Аэрогель: выйти сухим из воды [Veritasium] by Vert Dider 5,572,165 views 4 years ago 12 minutes, 35 seconds